Teorema di Fermat sulle somme di due quadrati

Il teorema di Fermat sulle somme di due quadrati afferma che ogni numero primo si può scrivere come somma di due quadrati perfetti se e solo se è congruo a 1 modulo 4, in altre parole se la differenza tra tale numero primo e 1 è multipla di 4. Per esempio:

${\displaystyle 5=1^{2}+2^{2},\quad 13=2^{2}+3^{2},\quad 17=1^{2}+4^{2},\quad 29=2^{2}+5^{2}.}$

Fa eccezione il 2, che pur non essendo congruo a 1 modulo 4, può tuttavia essere scritto come somma di due quadrati: ${\displaystyle 2=1^{2}+1^{2}}$. Siccome i quadrati sono congrui a 0 oppure a 1 modulo 4 si ha che se un primo dispari ${\displaystyle p}$ è somma di quadrati, allora ${\displaystyle p\equiv 1{\bmod {4}}}$. Basta quindi mostrare che se ${\displaystyle p\equiv 1{\bmod {4}},}$ allora ${\displaystyle p=a^{2}+b^{2}}$.

La prima dimostrazione nota di questo teorema risale a Eulero.

Fermat propose questo teorema in una lettera a Marin Mersenne datata 25 dicembre 1640, per questo motivo è noto anche come Teorema di Natale di Fermat.